07-06-2014  (4472 lectures) Categoria: Science

Chapman-Kolmogorov

Ley de Chapman-Kolmog贸rov

La ley de Chapman-Kolmog贸rov se basa en la ecuaci贸n del mismo nombre, a la que llegaron de forma independiente el matem谩tico brit谩nico Sydney Chapman y el matem谩tico ruso Andr茅i Kolmog贸rov. Enunciada de una forma sencilla dice: "la probabilidad de que dos hechos debidos al azar (y que cumplen unas condiciones determinadas), pasen conjuntamente... es "peque帽铆sima".

El concepto era conocido de antemano, y se empleaba en la investigaci贸n forense. Por ejemplo, se sabe que, en un incendio forestal, si hay un solo foco puede ser accidental, pero si hay dos la probabilidad de que sea provocado es alt铆sima.

Dentro del entorno de entrada de datos de las m谩quinas de Bull1 (con tarjetas perforadas tipo Hollerith), se hac铆a una 2陋 entrada de datos leyendo al mismo tiempo las tarjetas perforadas en la 1陋 entrada, la m谩quina pitaba si hab铆a alguna diferencia, en caso contrario se daba como correcta, ya que la probabilidad de error pasaba a ser "铆nfima".

En ambos ejemplos se est谩 aplicando la ley de Chapman-Kolmog贸rov, aunque no se explicite.

Ecuaci贸n de Chapman-Kolmog贸rov

En matem谩ticas, espec铆ficamente en teor铆a de probabilidad y, en particular, la teor铆a de procesos estoc谩sticos Markovianos, la ecuaci贸n de Chapman-Kolmog贸rov es una identidad sobre las distribuciones de probabilidad conjunta de los diferentes conjuntos de coordenadas en un proceso estoc谩stico.

Supongamos que { fi } es una colecci贸n indexada de variables aleatorias, es decir, un proceso estoc谩stico. Hacemos

p_{i_1,ldots,i_n}(f_1,ldots,f_n)

sea la funci贸n conjunta de densidad de probabilidad de los valores de las variables aleatorias de f1 a fn. Entonces, la ecuaci贸n de Chapman-Kolmog贸rov es

p_{i_1,ldots,i_{n-1}}(f_1,ldots,f_{n-1})=int_{-infty}^{infty}p_{i_1,ldots,i_n}(f_1,ldots,f_n),df_n

es decir, una marginalizaci贸n directa sobre la variable estorbo

(Hay que tener en cuenta que todav铆a no hemos supuesto nada sobre el orden temporal (o cualquier otro) de las variables aleatorias, la ecuaci贸n anterior se aplica igualmente a la marginalizaci贸n de cualquiera de ellos).

Aplicaci贸n a cadenas de M谩rkov

Cuando el proceso estoc谩stico considerado es markoviano, la ecuaci贸n de Chapman-Kolmog贸roves equivalente a una identidad en las densidades de transici贸n. En la formaci贸n de la cadena de M谩rkov, se supone que i1 <聽...聽<聽in. As铆, debido a la propiedad de M谩rkov

p_{i_1,ldots,i_n}(f_1,ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2mid f_1)cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_nmid  f_{n-1}),

donde la probabilidad condicional p_{i;j}(f_imid f_j) es la probabilidad de transici贸n entre los momentos i>j. As铆, la ecuaci贸n de Chapman-Kolmog贸rov toma la forma

p_{i_3;i_1}(f_3mid f_1)=int_{-infty}^infty p_{i_3;i_2}(f_3mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2mid f_1) , df_2.

Cuando la distribuci贸n de probabilidad sobre el espacio de estados de una cadena de M谩rkov es discreta y la cadena de M谩rkov es homog茅nea, las ecuaciones de Chapman-Kolmog贸rov se pueden expresar en t茅rminos de multiplicaci贸n de matrices (que pueden ser de dimensi贸n infinita), as铆:

P(t+s)=P(t)P(s),

donde P(t) es la matriz de transici贸n, es decir, si Xt es el estado del proceso en el momento t, entonces para dos estados cualesquiera i & j, tenemos

P_{ij}(t)=P(X_t=jmid X_0=i).,

Referencias

  • El legado de Andr茅i Nikol谩evich Kolmog贸rov Curr铆culum Vitae y biograf铆a. Escuela Kolmog贸rov. Ph.D. estudiantes y descendientes de A.N. Kolmog贸rov. A.N. Kolmog贸rovobras, libros, documentos, art铆culos. Fotograf铆as y retratos de A.N. Kolmog贸rov.




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